このコイン投げを繰り返し初めて裏がでた時の回数をNa初め

このコイン投げを繰り返し初めて裏がでた時の回数をNa初め。N[a],。確率統計についての質問です

確率pで表、1 pで裏が出るコインがある このコイン投げを繰り返し、初めて裏がでた時の回数をNa、初めて表がでた時の回数をNbとする
次に、このコイン投げとは独立に、確率βでNaを、 確率1 βでNbをとる確率変数Ncを定める時、以下の問題を解きなさい

(1)確率P(Nc=n)をn、βおよびpを用いて表わせ
(2)p=1/3のとき、Ncの分散を期待値μcを用いて表わせ
(3)p=1/3のとき、Ncの分散のβに関する最大値を求めよ

以上の3問が分かりません
(1)だけでもよろしいので、どなたか解説して頂けると幸いです

N[a], N[b] の各分布について、N[a] の分布は PrN[a]=n[a]=p^n[a]-1 1-pN[b] の分布は PrN[b]=n[b]=1-p^n[b]-1 pとなる。幾何分布を参照ただし、これらは独立ではない。例えば N[a],N[b]=3,2 となることはあり得ず、どちらか一方は必ず1であるし、もう一方は必ず2以上である。よって、同時確率質量関数はこれらの積とはならない。N[a], N[b] の同時確率質量関数 fn[a],n[b] はfn[a],n[b]=1-pp^n[a]-1 n[a]=2, n[b]=1, p1-p^n[b]-1 n[a]=1, n[b]=2, 0 otherwiseとなる。これを踏まえると、N[c]の確率質量分布関数は次のようになる。PrN[c]=1=1-βΣ[n[a]=2,∞]1-pp^n[a]-1+βΣ[n[b]=2,∞]p1-p^n[b]-1=p1-β+1-pβ=p-2pβ+βn=2 についてPrN[c]=n=β1-pp^n-1+1-βp1-p^n-1を得る。n=2 におけるPrN[c]=n の式において n=1 を代入すると、p≠0, p≠1 の場合は PrN[c]=1 に一致するのでPrN[c]=n=β1-pp^n-1+1-βp1-p^n-1としてよい。ここまでわかれば残りの問題は計算でごり押しできるだろう。p=1/3 のときμ[c]=32-β/2, σ[c]^2=8-4β-3β^2/4=-μ[c]^2+8μ[c]-9=-μ[c]-4^2+7分散を最大化するには μ[c]-4 の絶対値が0に近ければよいのでβ=0 のときに分散は最大値 2 をとる。

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